Классификация уровней в частных произведениях второго порядка



страница1/5
Дата09.06.2021
Размер0,84 Mb.
  1   2   3   4   5




5.2. Канонические формы уравнений в частных производных второго порядка
Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными называется соотношение между неизвестной функцией и её частными производными до второго порядка включительно:

,

где ; ; ; ; .


Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид:


, (5.2.1)

где

Если коэффициенты зависят не только от , а являются подобно , функциями , то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных , так и относительно функции и



(5.2.2)

где все коэффициенты в (5.2.2) и есть функции от и .

Если коэффициенты в (5.2.2) не зависят от и , то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение (5.2.2) однородное, если .

С помощью преобразования переменных , мы получим новое уравнение эквивалентное исходному.

Пусть даны две взаимно однозначные системы координат и (рис. 5.1), связанные соотношениями



, и , .

Рис. 5.1

У равнение координатной линии в системе координат имеет вид . Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю и


т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности , равен скорости изменения переменной у вдоль линии , проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат имеет свою характеристику и по ней можно определить само уравнение координатной линии



, , .

Ставится задача как выбрать и , чтобы уравнение (5.2.1) имело наиболее простую форму в новых переменных , .

Преобразуя производные к новым независимым переменным и , имеем

, ,





,

здесь учитывалось, что , , так как и независимые переменные и , . И также , .

Следовательно

, (5.2.3)

аналогично



.

Для смешанного производного имеем



.

Теперь все эти производные поставляя в уравнение (5.2.1) имеем



или


Обозначая

,

,



можно записать



, (5.2.4)

Так как вторые производные не входят в и вторые производные от и в выражении



равны нулю для . Преобразование переменных линейное, то значение . И так, преобразованное выражение - не получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных.

Формы уравнений (5.2.4) и (5.2.1) идентичны.

Теперь переменные и выбираются такие, чтобы или для уравнения (5.2.4)



. (5.2.5)

Таким образом, задача выбора переменных и связано с решением уравнения (5.2.5). Учитывая, что производные пропорциональны с коэффициентом



.

То (5.2.5) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение



или


, так как , то получаем

(5.2.6)



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©psihdoc.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница